Approfondimento – Funzioni e rappresentazioni grafiche

Obiettivi

Al termine saprai riconoscere una funzione e le sue variabili, leggere dominio, codominio, intercette, pendenza e andamento; distinguere relazioni lineari, quadratiche, inverse e periodiche; scegliere un grafico adatto e interpretarlo con unità e ipotesi esplicite.

1. Che cos'è una funzione

Una funzione assegna a ogni valore ammesso di una variabile indipendente \(x\) uno e un solo valore della variabile dipendente \(y\). Si scrive \(y=f(x)\). In meteorologia \(x\) può essere il tempo e \(y\) la temperatura; oppure \(x\) l'altitudine e \(y\) la pressione.

• Dominio: insieme dei valori di \(x\) per cui la relazione è definita e ha senso fisico.
• Immagine: valori di \(y\) effettivamente prodotti dalla funzione.
• Variabile indipendente: ingresso scelto o misurato, posto di norma sull'asse orizzontale.
• Variabile dipendente: risposta associata, posta sull'asse verticale.

Una serie osservata non determina automaticamente una legge universale. Un'interpolazione descrive i punti misurati; un'estrapolazione oltre l'intervallo osservato è più incerta e richiede un modello fisico giustificato.

2. Coordinate e lettura di un grafico

Il piano cartesiano ha asse orizzontale \(x\) e asse verticale \(y\). Ogni punto è una coppia ((x,y)). Le scale possono partire da zero oppure essere ristrette, ma devono essere dichiarate: una scala verticale ristretta può far apparire enorme una variazione modesta.

Un grafico scientifico deve riportare titolo informativo, nome delle variabili, unità, graduazioni leggibili, legenda quando ci sono più serie, periodo o quota di riferimento e fonte dei dati. Le unità non vanno lasciate implicite. Per dati temporali, indicare fuso orario e convenzione temporale se rilevanti.

Nella figura seguente i tre esempi sono schematici e didattici: non sono misure di una località reale né una previsione. Gli assi, le unità e le annotazioni sono in italiano.

3. Pendenza e tasso di variazione

Tra due punti \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\), la pendenza media è [ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. ]

Qui \(\Delta\) significa «variazione»; \(m\) è la pendenza; \(y_1,y_2\) sono i valori della variabile dipendente; \(x_1,x_2\) quelli dell'indipendente. Le unità di \(m\) sono unità di \(y\) divise per unità di \(x\). Pendenza positiva: \(y\) cresce al crescere di \(x\); negativa: diminuisce; nulla: resta costante nell'intervallo.

Esempio – riscaldamento mattutino. Alle 7 la temperatura è 12 °C e alle 10 è 18 °C. Con \(x=t\) espresso in ore e \(y=T\) in °C: [ m=\frac{18-12}{10-7}=2\ \mathrm{°C/h}. ] È la variazione media in quelle tre ore, non la garanzia che il riscaldamento sia stato uniforme in ogni minuto.

4. Famiglie di funzioni e interpretazione

Funzione costante

\[ y=c. \]

Il simbolo \(c\) è un valore fisso; la pendenza è zero. Un modello a temperatura costante \(T(t)=15\ ^\circ\mathrm C\) può approssimare un breve periodo notturno, ma non l'intero ciclo diurno.

Funzione lineare o affine

\[ y=mx+q. \]

\(m\) è la pendenza e \(q\) l'intercetta sull'asse verticale, cioè il valore previsto quando \(x=0\), se lo zero appartiene al dominio. Una pressione che scende da 1008 hPa alle 9 a 1002 hPa alle 12 ha pendenza [ m=\frac{1002-1008}{12-9}=-2\ \mathrm{hPa/h}. ] Il modello locale è $p(t)=1008-2(t-9)$, con \(t\) in ore e \(p\) in hPa. L'espressione \(t-9\) mantiene chiaro il riferimento temporale. Non va prolungata indefinitamente: la pressione non continuerà a calare con lo stesso ritmo per sempre.

Funzione quadratica

\[ y=ax^2+bx+c. \]

(a,b,c) sono coefficienti. Il grafico è una parabola: se (a>0) è concava verso l'alto, se (a<0) verso il basso. Un esempio è la distanza percorsa a velocità crescente in un modello di accelerazione costante: \(s(t)=s_0+v_0t+\tfrac12at^2\). In meteorologia una parabola può descrivere localmente un profilo o un andamento, ma i coefficienti devono provenire da dati e il modello resta valido solo nel dominio considerato.

Proporzionalità inversa

\[ y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0. \]

\(k\) è una costante. Se \(x\) raddoppia, \(y\) si dimezza. Per una quantità d'acqua fissata, l'altezza media \(h\) su una superficie \(A\) soddisfa \(h=V/A\), dove \(V\) è il volume distribuito e \(A\) l'area; occorre usare unità coerenti. Il grafico è curvo e gli assi non sono intercettati.

Funzione periodica

Una funzione periodica ripete il proprio andamento dopo un intervallo \(P\), detto periodo: \(f(t+P)=f(t)\). Un modello semplificato del ciclo giornaliero della temperatura è [ T\(t\)=T_m+A\cos!\left\(\frac{2\pi}{24}(t-t_{max})\right\). ]

Simboli: \(T(t)\) è la temperatura al tempo \(t\), in °C; \(T_m\) è la media del ciclo, in °C; \(A\) è l'ampiezza, in °C; \(t\) e \(t_{max}\) si misurano in ore; 24 h è il periodo assunto; \(\pi\) è il rapporto tra circonferenza e diametro; coseno restituisce un numero senza unità. Se \(T_m=16\ ^\circ\mathrm C\), \(A=5\ ^\circ\mathrm C\), e il massimo si verifica alle 15, allora alle 9: [ T(9)=16+5\cos!\left\(\frac{2\pi}{24}(9-15)\right\) =16+5\cos\(-\pi/2\)=16\ ^\circ\mathrm C. ] Il modello è illustrativo: nuvolosità, vento, stagione, orientamento e inerzia del suolo modificano forma, massimo e minimo reali.

5. Dal grafico al fenomeno: pioggia cumulata

Se (R(t)) è l'intensità di pioggia in mm/h, la pioggia cumulata cresce nel tempo. Per intervalli a intensità costante, la variazione è \(\Delta H=R\,\Delta t\), dove \(H\) è l'accumulo in mm e \(\Delta t\) in ore. Per esempio, a 4 mm/h per 30 minuti: \(\Delta H=4\times0{,}5=2\ \mathrm{mm}\). Il grafico dell'accumulo non deve diminuire; la sua pendenza rappresenta l'intensità.

In dati discreti si può stimare la pendenza tra misure consecutive. Se l'accumulo passa da 3 a 11 mm in due ore, l'intensità media è \((11-3)/2=4\ \mathrm{mm/h}\). Picchi brevi possono essere nascosti dalla media: la frequenza di campionamento conta.

6. Interpolazione, risoluzione e incertezza

Misure tra due osservazioni possono essere stimate con interpolazione lineare, assumendo una variazione uniforme. Se alle 10 si hanno 14 °C e alle 12 se ne hanno 18 °C, la stima alle 11 è 16 °C. È una stima, non una misura diretta. L'errore strumentale, la rappresentatività della stazione e la scelta del modello contribuiscono all'incertezza. Riportare molte cifre decimali non rende più precisa una misura.

Quando confronti serie diverse, usa lo stesso intervallo temporale, unità e riferimenti. Un grafico non dimostra da solo un rapporto di causa-effetto: mostra associazioni e andamenti, che vanno interpretati con conoscenze fisiche e ulteriori osservazioni.

7. Procedura pratica per costruire un grafico

1. Definisci la domanda e le variabili da confrontare.
2. Scegli quale variabile controlla o ordina l'asse orizzontale; per una serie temporale usa il tempo.
3. Verifica unità, intervallo, dati mancanti e valori anomali.
4. Scegli una scala che mostri le variazioni senza distorcerle; indica se non parte da zero.
5. Etichetta entrambi gli assi con nome e unità; aggiungi titolo e legenda.
6. Distingui osservazioni e curve di modello. Scrivi località, quota, periodo e fonte quando disponibili.
7. Descrivi cosa il grafico consente di concludere e cosa resta incerto.

Esercizi graduati

1. Lettura (base). Una stazione registra 10 °C alle 6 e 16 °C alle 9. Calcola la variazione media in °C/h e descrivi il segno.
2. Equazione (base). Per \(p(t)=1012-1{,}5(t-8)\), con \(t\) in ore e \(p\) in hPa, trova \(p\) alle 10 e spiega il significato di \(-1{,}5\).
3. Scelta del modello (intermedio). Associa: \(a\) accumulo di pioggia con intensità costante; \(b\) ciclo giornaliero idealizzato; \(c\) valore stabile per poche ore. Scegli fra funzione lineare, periodica e costante, motivando.
4. Interpolazione (intermedio). La temperatura è 13 °C alle 8 e 19 °C alle 11. Stima il valore alle 9:30 con interpolazione lineare e dichiara l'ipotesi.
5. Grafico e unità (intermedio). L'accumulo passa da 2 mm alle 14 a 14 mm alle 17. Calcola la pendenza e scrivi come etichetteresti gli assi.
6. Analisi critica (avanzato). Un grafico di temperatura mostra una retta crescente per 48 ore, adattata a dati di una stazione. Spiega due ragioni per cui non è prudente prolungarla per una settimana.
7. Modello periodico (avanzato). Usa \(T(t)=18+6\cos[2\pi(t-14)/24]\). Calcola \(T\) alle 14 e alle 20; indica media, ampiezza, periodo e ora del massimo.

Verifica

1. Definisci dominio e variabile dipendente con un esempio meteorologico.
2. Spiega unità e segno della pendenza in un grafico pressione-tempo.
3. Perché una curva interpolata non è necessariamente una legge fisica?
4. Quali elementi minimi rendono interpretabile un grafico scientifico?
5. In un grafico di pioggia cumulata, che cosa rappresenta la pendenza?

Soluzioni commentate

1. \(m=(16-10)/(9-6)=2\ \mathrm{°C/h}\). È positiva: nel periodo considerato la temperatura cresce mediamente di 2 °C ogni ora.
2. \(p(10)=1012-1{,}5(2)=1009\ \mathrm{hPa}\). Il coefficiente indica un calo medio di 1,5 hPa per ogni ora nel modello, valido nel tratto assunto.
3. \(a\) lineare, se l'intensità è costante; \(b\) periodica, per la ripetizione giornaliera idealizzata; \(c\) costante. Ogni scelta è un'approssimazione dichiarata.
4. Tra le 8 e le 11 trascorrono 3 h. Le 9:30 sono 1,5 h dopo le 8, metà intervallo: \(13+(19-13)(1{,}5/3)=16\ ^\circ\mathrm C\). Si suppone una crescita uniforme.
5. \(m=(14-2)/(17-14)=4\ \mathrm{mm/h}\). Asse orizzontale: «Ora (ora locale)»; verticale: «Pioggia cumulata (mm)». È l'intensità media nell'intervallo.
6. La tendenza può cambiare per il passaggio di fronti o variazioni di nuvolosità; inoltre una retta non rappresenta la periodicità diurna. Anche l'intervallo osservato è corto rispetto alla settimana.
7. Alle 14 il coseno vale 1: \(T=24\ ^\circ\mathrm C\). Alle 20 l'argomento è \(\pi/2\), coseno zero: \(T=18\ ^\circ\mathrm C\). Media 18 °C, ampiezza 6 °C, periodo 24 h, massimo alle 14. È una previsione del modello idealizzato, non un dato osservato.

Glossario

• Dominio: valori ammessi della variabile indipendente.
• Intercetta: punto in cui il grafico incontra un asse.
• Interpolazione: stima entro l'intervallo coperto dai dati.
• Estrapolazione: stima oltre quell'intervallo.
• Pendenza: variazione di una grandezza per unità dell'altra.
• Periodo: intervallo dopo il quale un andamento si ripete.

Riepilogo

Una funzione associa a ogni ingresso un solo valore d'uscita. Il grafico rende visibile la relazione, ma va letto con scale, unità, dominio e ipotesi. La pendenza quantifica la variazione media; il modello descrive solo ciò che le sue ipotesi e i dati supportano.

Contenuto didattico originale preparato per questo sito; esempi e figura sono schematici.