M00.5 – Vettori¶

1. Obiettivi della lezione¶

Al termine di questa lezione sarai in grado di:

distinguere una grandezza scalare da una grandezza vettoriale;
identificare modulo, direzione e verso di un vettore;
rappresentare un vettore mediante le sue componenti;
scomporre un vettore sugli assi cartesiani;
sommare e sottrarre vettori;
calcolare il modulo e la direzione di una risultante;
applicare i calcoli vettoriali allo studio del vento e dei fenomeni atmosferici.

2. Grandezze scalari e vettoriali¶

In fisica e meteorologia le grandezze possono essere classificate in due categorie fondamentali.

2.1 Grandezze scalari¶

Una grandezza scalare è completamente descritta da un valore numerico e dalla relativa unità di misura.

Esempi:

Grandezza	Valore di esempio
Temperatura	18 °C
Pressione atmosferica	1013 hPa
Umidità relativa	65 %
Tempo	30 minuti
Massa	5 kg
Energia	200 J

Per descrivere una temperatura di 18 °C non occorre indicare una direzione.

2.2 Grandezze vettoriali¶

Una grandezza vettoriale richiede invece tre informazioni:

Modulo: il valore numerico della grandezza.
Direzione: la retta lungo la quale agisce.
Verso: il senso nel quale è orientata.

Esempi di grandezze vettoriali:

velocità;
accelerazione;
forza;
spostamento.

In meteorologia la velocità del vento è una grandezza vettoriale: non basta sapere che il vento soffia a 10 m/s, occorre conoscere anche la direzione del movimento dell'aria.

3. Rappresentazione di un vettore¶

Un vettore si rappresenta graficamente con una freccia.

La lunghezza della freccia rappresenta il modulo, mentre la sua orientazione rappresenta direzione e verso.

La notazione può essere:

v oppure \(\vec v\): vettore;
|v|: modulo del vettore;
\(v_x\): componente lungo l'asse X;
\(v_y\): componente lungo l'asse Y;
\(v_z\): componente lungo l'asse Z.

In un sistema cartesiano bidimensionale:

asse X: direzione Est-Ovest;
asse Y: direzione Nord-Sud.

Si assume convenzionalmente: - Est positivo; - Ovest negativo; - Nord positivo; - Sud negativo.

4. Componenti cartesiane di un vettore¶

Un vettore inclinato può essere scomposto in due componenti perpendicolari.

La componente orizzontale è indicata con \(V_x\), quella verticale con \(V_y\).

Se l'angolo \(\alpha\) è misurato in senso antiorario dall'asse X positivo:

\[ V_x=V\cos(\alpha) \]

\[ V_y=V\sin(\alpha) \]

Il modulo del vettore si ricava dal teorema di Pitagora:

\[ V=\sqrt{V_x^2+V_y^2} \]

L'angolo rispetto all'asse X si ricava da:

\[ \alpha=\arctan\left(\frac{V_y}{V_x}\right) \]

Per individuare correttamente il quadrante, nei calcoli numerici è preferibile utilizzare la funzione atan2, quando disponibile.

4.1 Esempio svolto¶

Un vettore ha modulo 10 unità e forma un angolo di 30° rispetto all'asse Est positivo.

Calcoliamo le componenti:

\[ V_x=10\cos(30^\circ)=8,66 \]

\[ V_y=10\sin(30^\circ)=5 \]

Il vettore è quindi rappresentato dalle componenti:

componente Est: 8,66;
componente Nord: 5.

Verifica del modulo:

\[ V=\sqrt{8,66^2+5^2}\approx10 \]

Il risultato conferma il modulo iniziale, considerando gli arrotondamenti.

5. Somma di vettori¶

La somma vettoriale permette di determinare l'effetto complessivo di più vettori.

Quando due vettori sono espressi mediante componenti cartesiane, si sommano separatamente le componenti corrispondenti.

Se:

\[ \vec A=(A_x,A_y) \]

\[ \vec B=(B_x,B_y) \]

la risultante è:

\[ \vec R=\vec A+\vec B \]

con:

\[ R_x=A_x+B_x \]

\[ R_y=A_y+B_y \]

Il modulo della risultante è:

\[ R=\sqrt{R_x^2+R_y^2} \]

5.1 Esempio meteorologico: composizione di due moti¶

Supponiamo che una massa d'aria abbia due componenti di movimento:

8 m/s verso Est;
6 m/s verso Nord.

Le componenti sono:

\[ R_x=8\ \text{m/s} \]

\[ R_y=6\ \text{m/s} \]

Il modulo della risultante è:

\[ R=\sqrt{8^2+6^2} \]

\[ R=\sqrt{64+36}=10\ \text{m/s} \]

La direzione rispetto all'Est è:

\[ \alpha=\arctan(6/8)=36,87^\circ \]

La massa d'aria si muove quindi verso Nord-Est, con velocità di 10 m/s e angolo di circa 36,9° a Nord dell'Est.

6. Sottrazione di vettori¶

La sottrazione di un vettore equivale alla somma del suo opposto.

\[ \vec A-\vec B=\vec A+(-\vec B) \]

In termini di componenti:

\[ R_x=A_x-B_x \]

\[ R_y=A_y-B_y \]

6.1 Esempio¶

Siano:

\[ \vec A=(12,8) \]

\[ \vec B=(5,3) \]

La differenza è:

\[ \vec R=(12-5,\ 8-3) \]

\[ \vec R=(7,5) \]

Il modulo vale:

\[ R=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74}\approx8,60 \]

7. Il prodotto scalare¶

Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori che restituisce un numero, cioè uno scalare.

La formula generale è:

\[ \vec A\cdot\vec B=AB\cos(\theta) \]

dove \(\theta\) è l'angolo compreso tra i due vettori.

In coordinate cartesiane:

\[ \vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y \]

Il prodotto scalare è utile, tra le altre cose, per valutare quanto due vettori siano orientati nella stessa direzione.

Se l'angolo è 0°, il prodotto è positivo e massimo.
Se l'angolo è 90°, il prodotto è zero.
Se l'angolo è 180°, il prodotto è negativo.

In meteorologia il prodotto scalare può essere utilizzato, ad esempio, per studiare il trasporto di una grandezza da parte di un flusso attraverso una direzione assegnata.

8. Vettori nello spazio tridimensionale¶

In alcuni problemi è necessario rappresentare un vettore in tre dimensioni.

Si utilizzano tre assi cartesiani:

X: Est-Ovest;
Y: Nord-Sud;
Z: verticale.

Un vettore è descritto da:

\[ \vec V=(V_x,V_y,V_z) \]

Il suo modulo è:

\[ V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2} \]

8.1 Applicazione atmosferica¶

Il movimento dell'aria può avere:

una componente orizzontale verso Est;
una componente orizzontale verso Nord;
una componente verticale verso l'alto o verso il basso.

La componente verticale è importante nello studio dei moti convettivi, delle correnti ascendenti e discendenti e dello sviluppo delle nubi temporalesche.

9. Vento: direzione di provenienza e direzione di movimento¶

Questa distinzione è fondamentale in meteorologia.

La direzione meteorologica del vento indica il punto cardinale dal quale il vento proviene, non quello verso cui si muove.

Esempi:

Vento proveniente da	Movimento dell'aria
Nord	Verso Sud
Sud	Verso Nord
Est	Verso Ovest
Ovest	Verso Est
Nord-Est	Verso Sud-Ovest
Sud-Ovest	Verso Nord-Est

La direzione meteorologica viene normalmente espressa in gradi, in senso orario a partire dal Nord:

Nord: 0° oppure 360°;
Est: 90°;
Sud: 180°;
Ovest: 270°.

9.1 Calcolo delle componenti del vento¶

Per un vento di velocità \(V\), proveniente dalla direzione meteorologica \(\theta\), le componenti del movimento dell'aria sono:

\[ u=-V\sin(\theta) \]

\[ v=-V\cos(\theta) \]

Dove:

\(u\) è la componente Est-Ovest, positiva verso Est;
\(v\) è la componente Nord-Sud, positiva verso Nord;
\(\theta\) è la direzione di provenienza, misurata in senso orario dal Nord.

Queste formule adottano la convenzione meteorologica standard per le componenti orizzontali del vento.

9.2 Esempio: vento da Nord-Est¶

Consideriamo un vento di 10 m/s proveniente da Nord-Est.

La direzione è 45°.

\[ u=-10\sin(45^\circ)=-7,07\ \text{m/s} \]

\[ v=-10\cos(45^\circ)=-7,07\ \text{m/s} \]

Entrambe le componenti sono negative:

la componente orizzontale è diretta verso Ovest;
la componente verticale sul piano orizzontale è diretta verso Sud.

Il vento si muove quindi verso Sud-Ovest.

9.3 Esempio: vento da Ovest¶

Un vento proviene da Ovest con velocità di 12 m/s.

La direzione è 270°.

\[ u=-12\sin(270^\circ)=12\ \text{m/s} \]

\[ v=-12\cos(270^\circ)=0 \]

Il vento si muove verso Est con velocità di 12 m/s.

10. Applicazioni in meteorologia¶

I vettori sono indispensabili per descrivere e interpretare numerosi fenomeni atmosferici.

10.1 Campo del vento¶

Le carte meteorologiche possono rappresentare il vento mediante frecce orientate secondo la direzione del movimento e dimensionate secondo la velocità.

10.2 Trasporto delle masse d'aria¶

Il movimento delle masse d'aria contribuisce al trasporto di:

calore;
umidità;
vapore acqueo;
aerosol e particelle;
inquinanti atmosferici.

10.3 Convergenza e divergenza¶

Quando i vettori del vento convergono verso una zona, si parla di convergenza.

Quando si allontanano da una zona, si parla di divergenza.

Questi fenomeni sono importanti per comprendere i movimenti verticali dell'aria e l'evoluzione dei sistemi meteorologici.

10.4 Vento reale e vento risultante¶

In alcune situazioni il movimento dell'aria osservato è il risultato della combinazione di più contributi. La somma vettoriale consente di determinare il movimento complessivo.

È importante ricordare che la somma di due velocità deve essere effettuata rispettando direzioni e versi, non sommando semplicemente i valori numerici.

11. Errori comuni da evitare¶

Confondere il modulo di un vettore con una sua componente.
Sommare i moduli senza considerare le direzioni.
Confondere direzione e verso.
Dimenticare il segno negativo nelle componenti.
Confondere la direzione di provenienza del vento con quella del suo movimento.
Utilizzare gradi quando la calcolatrice è impostata sui radianti, o viceversa.
Calcolare l'angolo con una semplice divisione senza verificare il quadrante.

12. Esercizi¶

Esercizio 1 – Componenti¶

Un vettore ha modulo 20 m/s e forma un angolo di 60° rispetto all'asse Est positivo.

Calcolare le componenti X e Y.

Esercizio 2 – Risultante¶

Due vettori sono:

\[ \vec A=(3,4) \]

\[ \vec B=(5,2) \]

Calcolare la risultante e il suo modulo.

Esercizio 3 – Sottrazione¶

Dati:

\[ \vec A=(10,7) \]

\[ \vec B=(4,2) \]

Calcolare \(\vec A-\vec B\) e il relativo modulo.

Esercizio 4 – Vento da Sud¶

Un vento proviene da Sud con velocità di 15 m/s.

Determinare le componenti u e v e indicare la direzione del movimento.

Esercizio 5 – Vento da Nord-Ovest¶

Un vento proviene da Nord-Ovest con velocità di 12 m/s.

Calcolare le componenti u e v e indicare il verso del movimento.

Esercizio 6 – Prodotto scalare¶

Due vettori hanno moduli rispettivamente di 8 e 5 unità e formano un angolo di 60°.

Calcolare il prodotto scalare.

13. Soluzioni degli esercizi¶

Soluzione 1¶

\[ V_x=20\cos(60^\circ)=10\ \text{m/s} \]

\[ V_y=20\sin(60^\circ)=17,32\ \text{m/s} \]

Soluzione 2¶

\[ R_x=3+5=8 \]

\[ R_y=4+2=6 \]

\[ R=\sqrt{8^2+6^2}=10 \]

La risultante è (8,6), con modulo 10 unità.

Soluzione 3¶

\[ R_x=10-4=6 \]

\[ R_y=7-2=5 \]

\[ R=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}\approx7,81 \]

Soluzione 4¶

Sud corrisponde a 180°.

\[ u=-15\sin(180^\circ)=0 \]

\[ v=-15\cos(180^\circ)=15\ \text{m/s} \]

Il vento si muove verso Nord.

Soluzione 5¶

Nord-Ovest corrisponde a 315°.

\[ u=-12\sin(315^\circ)=8,49\ \text{m/s} \]

\[ v=-12\cos(315^\circ)=-8,49\ \text{m/s} \]

Il vento si muove verso Sud-Est.

Soluzione 6¶

\[ A\cdot B=8\cdot5\cdot\cos(60^\circ) \]

\[ A\cdot B=40\cdot0,5=20 \]

Il prodotto scalare vale 20 unità quadrate, se i moduli sono espressi nella stessa unità.

14. Glossario¶

Termine	Significato
Vettore	Grandezza dotata di modulo, direzione e verso
Modulo	Valore numerico del vettore
Direzione	Orientamento della retta d'azione
Verso	Senso indicato dalla freccia
Componente	Proiezione del vettore su un asse
Risultante	Vettore ottenuto dalla somma di più vettori
Prodotto scalare	Operazione tra vettori che restituisce uno scalare
Convergenza	Avvicinamento dei flussi verso una zona
Divergenza	Allontanamento dei flussi da una zona
Componenti u e v	Componenti orizzontali del vento secondo la convenzione meteorologica

15. Riepilogo della lezione¶

Le grandezze scalari sono descritte da valore e unità di misura.
Le grandezze vettoriali richiedono modulo, direzione e verso.
Un vettore può essere scomposto in componenti cartesiane.
Le componenti si sommano e si sottraggono separatamente.
Il modulo della risultante si calcola con il teorema di Pitagora nel caso bidimensionale.
Il prodotto scalare restituisce una grandezza scalare.
In meteorologia la direzione del vento indica sempre la provenienza.
Le componenti meteorologiche u e v descrivono il movimento dell'aria, non la sua provenienza.

Concetto fondamentale da ricordare: il vento indicato come proveniente da Nord-Est si muove verso Sud-Ovest. Questa convenzione deve essere rispettata in tutti i calcoli meteorologici.

Fine della lezione M00.5 – Vettori.