M00.4 – Trigonometria e applicazioni meteorologiche¶

1. Obiettivi della lezione¶

Al termine di questa unità saprai:

comprendere angoli e loro unità di misura;
convertire gradi in radianti e viceversa;
utilizzare seno, coseno e tangente;
scomporre una grandezza in componenti;
calcolare le componenti del vento;
interpretare direzione e intensità del vento;
applicare la trigonometria a problemi atmosferici.

2. Angoli e unità di misura¶

Un angolo descrive l'apertura tra due semirette aventi la stessa origine.

L'unità più comune nella vita quotidiana è il grado (°).

Un giro completo misura:

\[ 360^\circ \]

Un angolo retto misura:

\[ 90^\circ \]

Un angolo piatto misura:

\[ 180^\circ \]

In matematica e fisica si utilizza anche il radiante (rad).

Un giro completo corrisponde a:

\[ 2\pi\ \text{rad}=360^\circ \]

Quindi:

\[ 180^\circ=\pi\ \text{rad} \]

2.1 Conversione tra gradi e radianti¶

Da gradi a radianti:

\[ \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{gradi}}\frac{\pi}{180} \]

Da radianti a gradi:

\[ \alpha_{\text{gradi}}=\alpha_{\text{rad}}\frac{180}{\pi} \]

Esempi:

\[ 90^\circ=\frac{\pi}{2}\ \text{rad} \]

\[ 180^\circ=\pi\ \text{rad} \]

\[ 45^\circ=\frac{\pi}{4}\ \text{rad} \]

La modalità gradi o radianti deve essere impostata correttamente quando si utilizza una calcolatrice.

3. Il triangolo rettangolo¶

La trigonometria elementare studia le relazioni tra angoli e lati dei triangoli.

In un triangolo rettangolo troviamo:

ipotenusa: il lato opposto all'angolo retto, ed è il più lungo;
cateto opposto: il lato di fronte all'angolo considerato;
cateto adiacente: il lato vicino all'angolo considerato, diverso dall'ipotenusa.

Schema di un triangolo rettangolo — Figura 1 – Triangolo rettangolo: ipotenusa, cateto opposto, cateto adiacente e angolo α.

4. Seno, coseno e tangente¶

Le tre funzioni trigonometriche fondamentali sono definite come rapporti tra i lati del triangolo rettangolo.

4.1 Seno¶

Il seno di un angolo è il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa:

\[ \sin(\alpha)=\frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} \]

4.2 Coseno¶

Il coseno è il rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa:

\[ \cos(\alpha)=\frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} \]

4.3 Tangente¶

La tangente è il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente:

\[ \tan(\alpha)=\frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} \]

Vale anche la relazione:

\[ \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

4.4 Valori notevoli¶

Angolo	Seno	Coseno	Tangente
0°	0	1	0
30°	0,5	0,866	0,577
45°	0,707	0,707	1
60°	0,866	0,5	1,732
90°	1	0	Non definita

I valori decimali sono approssimati.

5. Il teorema di Pitagora¶

In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.

\[ c^2=a^2+b^2 \]

Dove \(c\) è l'ipotenusa.

Esempio:

Un triangolo ha cateti di 3 m e 4 m.

\[ c=\sqrt{3^2+4^2} \]

\[ c=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{m} \]

Il teorema di Pitagora permette di calcolare la lunghezza risultante quando conosciamo due componenti perpendicolari.

6. I vettori e la scomposizione delle grandezze¶

Un vettore è una grandezza caratterizzata da:

modulo, cioè intensità;
direzione;
verso.

Molte grandezze meteorologiche sono vettoriali, in particolare il vento.

Un vettore può essere scomposto in due componenti perpendicolari, per esempio una componente est-ovest e una componente nord-sud.

Se il vettore ha modulo \(V\) e forma un angolo \(\alpha\) con l'asse orizzontale:

\[ V_x=V\cos(\alpha) \]

\[ V_y=V\sin(\alpha) \]

Il segno delle componenti dipende dal quadrante e dal verso del vettore.

Figura 2 – Scomposizione di un vettore nelle componenti orizzontale e verticale.

7. Applicazione meteorologica: il vento¶

Il vento è una grandezza vettoriale.

Nelle osservazioni meteorologiche la direzione del vento indica normalmente il punto cardinale dal quale il vento proviene.

Per esempio:

vento da Nord: proviene da Nord e si muove verso Sud;
vento da Est: proviene da Est e si muove verso Ovest;
vento da Sud-Ovest: proviene da Sud-Ovest e si muove verso Nord-Est.

La direzione meteorologica viene misurata in senso orario a partire dal Nord geografico:

Direzione	Angolo
Nord	0° o 360°
Nord-Est	45°
Est	90°
Sud-Est	135°
Sud	180°
Sud-Ovest	225°
Ovest	270°
Nord-Ovest	315°

Attenzione: questa convenzione descrive la provenienza del vento, non la direzione verso cui si muove.

8. Calcolo delle componenti del vento¶

Per calcolare le componenti del vento occorre distinguere la direzione di provenienza dalla direzione del moto.

Adottiamo questa convenzione:

asse Est positivo verso Est;
asse Nord positivo verso Nord;
angolo meteorologico \(\theta\) misurato in senso orario dal Nord;
il vento si muove in direzione opposta alla provenienza indicata.

Le componenti del vento sono:

\[ u=-V\sin(\theta) \]

\[ v=-V\cos(\theta) \]

Dove:

\(V\) è la velocità del vento;
\(u\) è la componente verso Est;
\(v\) è la componente verso Nord;
\(\theta\) è la direzione meteorologica di provenienza.

8.1 Esempio: vento da Nord-Est¶

Supponiamo un vento di 10 m/s proveniente da Nord-Est:

\[ V=10\ \text{m/s} \]

\[ \theta=45^\circ \]

Componente Est:

\[ u=-10\sin(45^\circ) \]

\[ u\approx-7,07\ \text{m/s} \]

Componente Nord:

\[ v=-10\cos(45^\circ) \]

\[ v\approx-7,07\ \text{m/s} \]

Entrambe le componenti sono negative: il vento si muove verso Sud-Ovest.

8.2 Esempio: vento da Ovest¶

Un vento proviene da Ovest con velocità di 12 m/s.

\[ \theta=270^\circ \]

\[ u=-12\sin(270^\circ)=12\ \text{m/s} \]

\[ v=-12\cos(270^\circ)=0 \]

Il vento si muove verso Est.

9. Calcolare intensità e direzione risultanti¶

Se conosciamo le componenti Est-Ovest e Nord-Sud, possiamo ricavare il modulo del vettore:

\[ V=\sqrt{u^2+v^2} \]

Esempio:

\[ u=8\ \text{m/s} \]

\[ v=6\ \text{m/s} \]

\[ V=\sqrt{8^2+6^2} \]

\[ V=\sqrt{100}=10\ \text{m/s} \]

Per ricavare la direzione di provenienza, occorre prima determinare la direzione del moto e poi ruotarla di 180°. Nei calcoli pratici si utilizza una funzione arcotangente a due argomenti, che tiene conto del quadrante.

La convenzione delle componenti deve essere sempre dichiarata: senza di essa il segno e l'interpretazione del vettore possono risultare ambigui.

10. Applicazioni ulteriori in meteorologia¶

La trigonometria viene utilizzata anche per:

calcolare la direzione di spostamento dei sistemi meteorologici;
analizzare le componenti del vento rispetto a una costa o a una catena montuosa;
studiare il flusso dell'aria lungo pendii;
ricavare componenti orizzontali e verticali del moto;
interpretare misure radar e osservazioni remote;
analizzare la geometria dei raggi solari.

10.1 Altezza del Sole¶

La trigonometria permette di calcolare l'altezza di un oggetto conoscendo la sua ombra e l'angolo di elevazione del Sole.

\[ \tan(\alpha)=\frac{H}{L} \]

Quindi:

\[ H=L\tan(\alpha) \]

Dove:

\(H\) è l'altezza dell'oggetto;
\(L\) è la lunghezza dell'ombra;
\(\alpha\) è l'angolo di elevazione del Sole.

Questo principio è utile per comprendere la geometria dell'irraggiamento solare, che verrà approfondita nel modulo dedicato alla radiazione.

11. Errori da evitare¶

Confondere gradi e radianti.
Utilizzare il seno al posto del coseno senza verificare il triangolo.
Confondere cateto opposto e cateto adiacente.
Dimenticare che il vento è indicato per convenzione dalla direzione di provenienza.
Trascurare i segni delle componenti.
Utilizzare la funzione arcotangente semplice senza verificare il quadrante.
Non dichiarare la convenzione degli assi utilizzata.

12. Glossario¶

Termine	Significato
Angolo	Apertura tra due semirette
Radiante	Unità di misura degli angoli
Seno	Rapporto tra cateto opposto e ipotenusa
Coseno	Rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa
Tangente	Rapporto tra cateto opposto e adiacente
Ipotenusa	Lato più lungo di un triangolo rettangolo
Vettore	Grandezza con modulo, direzione e verso
Componente	Proiezione di un vettore su un asse
Arcotangente	Funzione inversa della tangente
Direzione meteorologica	Direzione dalla quale proviene il vento

13. Esercizi¶

Esercizio 1

Converti 90° in radianti.

Esercizio 2

Converti \(\pi/3\) radianti in gradi.

Esercizio 3

Calcola:

\[ \sin(30^\circ) \]

Esercizio 4

Un triangolo rettangolo ha cateti di 5 m e 12 m. Calcola l'ipotenusa.

Esercizio 5

Un vento ha velocità di 20 m/s e proviene da Est. In quale direzione si muove?

Esercizio 6

Un vento proviene da Nord con velocità di 8 m/s. Determina le componenti Est e Nord secondo la convenzione utilizzata nella lezione.

Esercizio 7

Un vettore ha componente Est di 9 m/s e componente Nord di 12 m/s. Calcola il modulo.

Esercizio 8

Un oggetto proietta un'ombra lunga 10 m. Il Sole ha un angolo di elevazione di 45°. Calcola l'altezza dell'oggetto.

14. Soluzioni commentate¶

Visualizza le soluzioni

**Esercizio 1** \[ 90^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}\ \text{rad} \] **Esercizio 2** \[ \frac{\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=60^\circ \] **Esercizio 3** \[ \sin(30^\circ)=0,5 \] **Esercizio 4** \[ c=\sqrt{5^2+12^2} \] \[ c=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \text{m} \] **Esercizio 5** Il vento proviene da Est e quindi si muove verso Ovest. **Esercizio 6** Nord corrisponde a \(\theta=0^\circ\). \[ u=-8\sin(0^\circ)=0 \] \[ v=-8\cos(0^\circ)=-8\ \text{m/s} \] Il vento si muove verso Sud. **Esercizio 7** \[ V=\sqrt{9^2+12^2} \] \[ V=\sqrt{225}=15\ \text{m/s} \] **Esercizio 8** \[ H=10\tan(45^\circ) \] \[ H=10\ \text{m} \]

15. Verifica di apprendimento¶

Qual è la differenza tra gradi e radianti?
Come si definisce il seno di un angolo?
Come si ricava l'ipotenusa?
Che cosa rappresentano le componenti di un vettore?
Da quale direzione proviene un vento con direzione 270°?
Perché bisogna distinguere la provenienza del vento dalla direzione del suo movimento?

Criterio di apprendimento: saper utilizzare le funzioni trigonometriche e scomporre un vettore, interpretando correttamente direzione e componenti del vento.